Les formules d’addition en trigonométrie posent un problème récurrent : on les apprend, on les oublie, on les réapprend. Cos(a – b) et sin(a) reviennent dans presque tous les exercices de terminale et dans les parties sans calculatrice du bac. Comprendre leur logique plutôt que les réciter par coeur change la donne.
Ce que le cercle trigonométrique montre avant toute formule
Avant de manipuler cos(a – b), il faut visualiser ce qui se passe sur le cercle unité. Placez deux points M et N sur ce cercle, correspondant aux angles a et b. La distance entre ces deux points dépend uniquement de la différence a – b.
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C’est cette observation géométrique qui fonde la formule d’addition. On ne part pas d’une convention arbitraire, mais d’une propriété du cercle : la distance entre deux points du cercle unité ne dépend que de l’écart angulaire.
Concrètement, les coordonnées de M sont (cos a, sin a) et celles de N sont (cos b, sin b). En calculant le carré de la distance MN, puis en comparant avec le cas où l’un des deux angles vaut zéro, on obtient directement cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
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Pour approfondir les formules avec cos a moins b et sin a, cette démonstration géométrique reste le point de départ le plus solide.
Vous avez remarqué le signe + dans la formule de cos(a – b) ? C’est contre-intuitif. On soustrait les angles, mais on additionne les produits. Ce décalage entre le signe de l’opération sur les angles et le signe dans la formule est la première source d’erreurs en examen.
Formule de cos(a – b) et passage à cos(a + b)
Posons la formule complète :
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b
Pour obtenir cos(a + b), remplacez b par -b. Comme cos(-b) = cos b et sin(-b) = -sin b, le signe change :
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
Le moyen mnémotechnique « coco – sisi » (pour cos a cos b – sin a sin b) fonctionne bien pour cos(a + b). Pour cos(a – b), inversez le signe central : « coco + sisi ».
Pourquoi cette symétrie ? Parce que le cosinus est une fonction paire. Remplacer b par son opposé ne modifie que le sinus, qui est impair. Toute la mécanique des formules d’addition repose sur cette propriété de parité des fonctions trigonométriques.
Vérification rapide avec des angles remarquables
Prenez a = 60° et b = 30°. Alors cos(60° – 30°) = cos 30°. Le membre gauche vaut cos 30°, soit la racine de 3 divisée par 2.
Le membre droit : cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°. En remplaçant par les valeurs connues, vous retrouvez le même résultat. Ce type de vérification prend moins d’une minute et permet de détecter immédiatement une erreur de signe.
Sin a et les formules d’addition du sinus
La fonction sin a intervient dans les formules d’addition par un mécanisme analogue. La formule de référence est :
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Et pour la différence :
sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b
Ici, le moyen mnémotechnique classique est « sico + cosi » pour sin(a + b). Remarquez que, contrairement au cosinus, le signe dans la formule du sinus suit le signe de l’opération sur les angles. Addition dans l’angle, addition dans la formule. Soustraction dans l’angle, soustraction dans la formule.
Cette cohérence rend les formules du sinus plus faciles à retenir que celles du cosinus. Mais attention : les termes croisent les fonctions. Dans sin(a + b), le premier terme mélange sin a avec cos b, et le second mélange cos a avec sin b. Ce croisement est la deuxième source d’erreurs fréquente.
Lien entre cos(a – b) et sin(a + b)
Vous pouvez déduire sin(a + b) directement de cos(a – b) grâce à la relation complémentaire : sin x = cos(π/2 – x). Appliquez cette identité à sin(a + b) en posant x = a + b :
sin(a + b) = cos(π/2 – a – b) = cos((π/2 – a) – b)
Développez avec la formule de cos(a – b), et vous retombez sur sin a cos b + cos a sin b. Toutes les formules d’addition se déduisent d’une seule, celle de cos(a – b). C’est cette formule qu’il faut ancrer en priorité.
Méthode pour retenir ces formules en situation d’examen
Les parties sans calculatrice du bac de mathématiques testent désormais la capacité à mobiliser ces formules comme des automatismes. Voici ce qui fonctionne pour les fixer durablement :
- Mémorisez uniquement cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b. Les trois autres formules (cos(a + b), sin(a + b), sin(a – b)) s’en déduisent par parité ou par complémentarité.
- Vérifiez systématiquement avec un couple d’angles remarquables (30° et 60°, ou 45° et 45°). Si le résultat numérique ne colle pas, c’est le signe qui est faux.
- Entraînez-vous à retrouver sin(a + b) à partir de cos(a – b) en passant par la relation sin x = cos(π/2 – x). Ce passage prend moins de trente secondes une fois automatisé.
L’erreur classique consiste à mémoriser les quatre formules séparément, sans comprendre leur filiation. Retenir une formule et en déduire les autres réduit le risque d’inversion de signe.
Cas concrets où cos(a – b) simplifie un calcul
En physique, le déphasage entre deux signaux sinusoïdaux se traduit par un terme en cos(a – b). Calculer l’interférence de deux ondes revient à développer cette expression. La formule n’est pas un exercice scolaire abstrait.
En géométrie analytique, le produit scalaire de deux vecteurs unitaires d’angles a et b vaut exactement cos(a – b). C’est la même formule, utilisée dans un autre cadre. Reconnaître ce lien entre produit scalaire et formule d’addition est un gain de temps considérable dans les problèmes de géométrie du plan.
Les formules de duplication (cos 2a, sin 2a) en découlent aussi directement : il suffit de poser b = a dans les formules d’addition. Pas besoin de les apprendre séparément.
Comprendre cos(a – b) revient à tenir le fil qui relie la majorité des identités trigonométriques. Une seule formule bien comprise, vérifiée sur des angles connus, et retrouvée par le raisonnement plutôt que par la mémoire brute, suffit à reconstruire tout le reste le jour de l’épreuve.